Jookseme 100-ni võidu analüüs.

Reeglid: Mängus osaleb 2 mängijat. Algseis 0. Vaheldumisi ütlevad mängijad numbreid, kusjuures parasjagu öeldav number peab olema eelnevast vähemalt 1 ja maksimaalselt 10 võrra suurem. Võidab see, kes ütleb esimesena 100.

Analüüs: Selleks, et saaks ütelda sada, peab eelneva käigukorra ajal ütlema 89. Miks? Kui oled ütelnud 89, saab vastane ütelda arve vahemikust 90 kuni 99. Seega Sina saad kindlasti 100 ütelda nii – siis kui vastane ütleb 90 kui ka siis kui vastane ütleb 99.

Selleks, et saaks ütelda 89, peab eelneva käigukorra ajal ütlema 78, sest siis peab vastane ütlema arvu vahemikust 79 kuni 88, millele saad vastata 89 ütlemisega.

Sama moodi edasi arutades jõuame võidule viivate arvude reani: 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100.

Seda arvude rida kasutades Te ilmselt võidate oma sõpra ja ka arvutit. Kuid ajapikku õpivad ka Teie sõbrad need arvud pähe. Vaja oleks mängu muuta, et Teie vastastel ei tekiks lootusetuse tunnet. Selleks, et leida muudetud reeglitega võidurida lihtsamalt uurime oma esialgset mängu.

Lähemalt võidule viivate arvude rida uurides leiame, et nende vahe paarikaupa on 11. Kust see arv tekkis? See on summa, mis koosneb maksimaalsest käigust (10) ja minimaalsest käigust (1). Seda summat nimetatakse ka garanteeritud käiguks. Miks? Vastase käiku me ei tea – aga koos oma käiguga saame kindlustada (garanteerida), et meie käigu lõpuks on edasi liigutud täpselt 11 võrra.

Kui vastane ütleb 	seis+1		Sina ütled	seis+10
			seis+2				seis+9
			seis+3				seis+8
			seis+4				seis+7
			seis+5				seis+6
			seis+6				seis+5
			seis+7				seis+4
			seis+8				seis+3
			seis+9				seis+2
			seis+10			        seis+1

Uurime nüüd: kuidas leida arvu, millest alustada.

Me teame, et võit (arv, mille ütlemine toob võidu) on 100. Teame ka garanteeritud käigu suurust 10+1=11 (maksimaalne käik+minimaalne käik). Nendest kahest suurusest tuletame valemi selle lehe alguses toodud arutelu põhjal. Meid ei huvita mitu korda toimub garanteeritud käik, vaid meid huvitab, millisest suurusest asi algab ja kes käib esimesena?

Ehk me võtame võiduarvust N korda maha garanteeritud käigu ja vaatame, mis järgi jääb. Matemaatiline valem näeks välja selline
X = võit MOD gkäik ,kus X on meid huvitav suurus, võit – võidu toov arv, gkäik- garanteeritud käik ja MOD – matemaatikast tuntud jäägi leidmise operatsioon.

Seega kui X=0 – las alustab vastane, kui x>0 tuleb esimeseks ütelda arv x.
Esialgses mängus oleks see 100 MOD 11 = 1

Nii alguse saime kätte. Aga kuidas leida vahepealseid käike? Võtame kasutusele veidi täiendatud valemi:
X= (võit – seis) MOD gkäik + seis

Vaatleme esialgse mänguga näidete varal, sest võidule viivaid numbreid me seal teame:

Oletame, et vastane ütles arvu 22 siis
x=(100-22) MOD 11 + 22 = 78 MOD 11 + 22 = 1+22 = 23

Oletame, et vastane ütles arvu 59 siis
x=(100-59) MOD 11 + 59 = 41 MOD 11 + 59 = 8 + 59 = 67

Seega oleme leidnud suhteliselt üldise valemi oma käikude väljaarvestamiseks.

Püüame nüüd muuta reegleid ja vaatame, kas saame selle valemi järgi mängida.
Ütleme, et võidu toob arv 500. Käigu suurus 1 kuni 30.

Alustame arvutusi:
x=(500-0) MOD 31 + 0 = 500 MOD 31 = 4
Seega alustame ja ütleme 4
Vastane saab ütelda arvu vahemikus 5 kuni 34
Vaatleme mõlemat äärt. Kui saame sama tulemi, võime ütelda, et sõltumata vastase käigust meie käik on leitud arv.
X=(500-5) MOD 31 + 5 = 495 MOD 31 +5 = 30 + 5 = 35
X=(500-34) MOD 31 + 34 = 466 MOD 31 + 34 = 1+34= 35

Siit meie käik on 35 ja vastasele jääb vahemik 36 kuni 45

Nii edasi arutades jõuame arvude reani : 4, 35, 66, 97, 128, 159, 190, 221, 252, 283, 314, 345, 376, 407, 438, 469, 500

Seega meie valem kehtib ka siis kui muudame veidi oma mängu.
Proovige! Mängimiseks võite kasutada nii oma sõpra kui ka arvutit. Vaadake, kas kasutades reeglit saate arvutist jagu?

Kui oled jooksmisest 'väsinud' läheme tikkudega mängima.