Начнем с рассмотрения одного примера.

Пример 1. Пусть длина ребра куба равна u см. Тогда площядь одной грани будет равна u² см², а площядь поверхности куба будет выражаться формулой S = 6u².
  Придавая переменной u значение из множества {0,5; 1; 2; 3; 5; 10}, мы получим по этой формуле соответствующие значения переменной S. Составим таблицую.

Полученная таблица выражает зависимость между длиной u ребра куба и площадью S поверхности куба.

Пример 2. Если длина катета равнобедренного треугольника равна v см, т.е. AB = BC = v (см рис.), то площадь этого треугольника будет выражаться формулой
S = ^v*v/₂ = ¹/₂v².
Полученная формула S = ¹/₂v² представляет зависимость между длиной v катета такого треугольника и его площадью S.
  В общем виде, если в полученных формулах переменные обозначить буквами x и y, а числовой коэфициент - буквой a, то этим формулам можно придать одинаковый вид:

y = ax².

  В последней формуле заданное число a (a 0) характеризует зависимость между переменными x и y (в первом примере a = 6, во втором a = 1/2). Мы также видим, что для нахождения значения переменной y нужно соответствующее значение переменной x возвести в квадрат и результат умножить на число a. Поэтому и говорят, что формула y = ax², где x и y являются переменными, а буква a обозначает заданное число (a 0), определяет квадратичную функцию. В дальнейшем, говоря о зависимости между переменными x и y, определенной формулой y = ax², будем пользоваться выражением "квадратичная функция y = ax²".
  В соответствии с формулой y = ax², каждому значению переменной x соответствует одно определенное значение переменной y. Это значение y называется значением квадратичной функции y = ax². Например, если x = 2, то соответствующее значение квадратичной функции y = 4x² будет равно: y = 4 * 2² = 4 * 4 = 16.

  Чтобы задать квадратичную функцию y = ax², нужно указать значенте коэфициента a и множество значений переменной x. Тогда для каждого значения переменной x из этого множества можно найти соответствующее ему значение переменной y. Заданное множество значений переменной x называется областью определения квадратичной функции y = ax², а множество соответствующих значений переменной y - множеством значений этой квадратичной функции. Если x = 0, то ax² = 0, т.е. значение квадратичной функции равно 0. Если a > 0, то ax² 0, так как x² 0 при всех значениях x. Таким образом, если коэфициент a > 0, то квадратичная функция принимает только неотрицательные значения. Если же a < 0, то ax² 0, т.е. квадратичная функция принимает только неположительные значения.

  Если область определения квадратичной функции специально не указана, то ее областью определения считают множество R всех действительных чисел.

  Пример 3. Дана квадратичная функция y = 3x², где x О {-3; -1; 0; 2; 4; 6}. Областью определения этой квадратичной функции является множество {-3; -1; 0; 2; 4; 6}. Если взять какое-нибудь значение переменной x из этого множества, например, -3, то соответствующим значением квадратичной функции будет y = 3 * (-3)² = 3 * 9 = 27. Если x = -1, то значением квадратичной функции будет y = 3 * (-1)² = 3 * 1 = 3, если же x = 0, то y = 0 и т.д. Таким образом мы можем для каждого значения переменной x из области определения вычислить соответствующее значение квадратичной функции и образуют ее множество значений - в данном случае зтим множеством является {27; 3; 0; 12; 48; 108}. Полученное множество можно записать (что необязательно) и в порядке возрастания его элементов: {0; 3; 12; 27; 48; 108}.
  Если значение коэфициента a квадратичной функции y = ax² не указано, но известна хотя бы одна пара соответствующих друг другу значений переменных x и y, то значение коэффициента a можно найти без труда.